SOLUSI PERSAMAAN PELL POSITIF BERBENTUK ????2 − ????????2 = 2???? (Oleh:
Akhmad Maulana Ramadhani; Pembimbing: Thresye, S.Si, M.Si & Mahfuzh
Shiddiq, S.Si, M.Si;2018;40 Halaman)
Persamaan diophantin adalah bentuk persamaan polinomial yang solusinya adalah
bilangan bulat non negatif. Persamaan diophantin terdiri atas dua bentuk yaitu
persamaan diophantin linier dan nonlinier. Persamaan diophantin nonlinier yang
berbentuk persamaan Pell secara umum dapat dituliskan sebagai berikut ????2 −
????????2 = 1 dengan ???? adalah elemen dari bilangan bulat positif bukan kuadrat
sempurna. Masalah lain yang akan muncul yaitu untuk mendapatkan solusi
persamaan yang berbentuk ????2 − ????????2 = 2???? dengan d= k2 + k adalah bilangan
bulat positif bukan kuadrat sempurna untuk ???? adalah bilngan bulat positif
dan t lebih besar sama dengan nol. Persamaan tersebut dikenal dengan nama
Persamaan Pell Positif. Tujuan dari penelitian ini yaitu membuktikan dan
mendapatkan relasi rekrusif pada solusi persamaan pell positif berbentuk
????2 − ????????2 = 2???? . Penelitian ini dilakukan dengan cara membuktikan solusi
persamaan pell dengan tiga kasus. Kasus pertama pembuktian menggunakan
ekspansi pecahan kontinu dan untuk dua kasus lainnya menggunakan induksi
matematika. Hasil dari penelitian ini terdiri dari tiga kasus. Pada kasus pertama
yaitu ???????????????????? ???? ≥ 1 ???????????? ???? = 0 diperoleh solusi fundamental (????1, ????1) = (3,2) dan
???????? = (4???? + 3)(????????−1 − ????????−2) + ????????−1 dan ???????? = (4???? + 3)(????????−1 − ????????−2) + ????????−1
untuk ???? ≥ 4. Pada kasus kedua untuk ???? = 1 dan ???? ≥ 1 diperoleh solusi
fundamental (????1, ????1) = (2
????+1
2 , 2
????−1
2 ) untuk t ganjil dan (3 . 2
????
2, 2
????
2
+1) untuk t genap,
untuk ???? ≥ 4 dapat diperoleh solusi fundamental menggunakan induksi matematika
yaitu ???????? = 7(????????−1 − ????????−2) + ????????−3 dan ???????? = 7(????????−1 − ????????−2) + ????????−3 . Pada
kasus ketiga dengan ???? ≥ 2 dan ???? ≥ 1 dapat diperoleh solusi fundamental (????1, ????1) =
(2
????
2(2???? + 1), 2
????
2
+1) dan untuk ???? ≥ 4 dapat diperoleh solusinya yaitu ???????? =
(4???? + 3)(????????−1 − ????????−2) + ????????−3 dan ???????? = (4???? + 3)(????????−1 − ????????−2) + ????????−3
Kata Kunci: Persamaan diophantin , Persamaan pell , Ekspansi Pecahan Kontinu