Penelitian ini membahas cara menyatakan bilangan rasional menjadi bentuk pecahan berlanjut sederhana dan menyelidiki bentuk tak hingga dari pecahan berlanjut sederhana yang memiliki pola periodik. Salah satu fokus utama adalah membuktikan bahwa beberapa pola periodik dalam pecahan berlanjut sederhana dengan pola periodik satu, dua, dan tiga suku yang dimulai dari suku pertama merupakan suatu jenis bilangan irasional. Untuk domain bilangan rasional, pembuktian dilakukan dengan menyusun suatu bilangan rasional menjadi bentuk hasil bagi dan sisa menggunakan algoritma pembagian. Selanjutnya untuk bentuk pecahan berlanjut sederhana tak hingga yang memiliki pola periodik, pembuktian dilakukan dengan menyusun persamaan kuadrat dari pola pecahan berlanjutnya dan menganalisis diskriminannya untuk menentukan jenis bilangan tersebut. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa pecahan berlanjut sederhana yang mewakili bilangan rasional selalu memiliki bentuk yang hingga (finite). Lebih lanjut, interval nilai bilangan tersebut dipengaruhi oleh suku parsial yang pertama. Sementara itu, untuk beberapa bentuk pecahan berlanjut sederhana tak hingga yang memiliki pola periodik murni merupakan bilangan irasional kuadrat yang bernilai lebih dari 1.