ABSTRAK

Ring merupakan suatu kajian pada aljabar yang memiliki definisi sebagai himpunan tidak kosong dengan dua operasi biner. Terhadap operasi biner pertama, himpunan tersebut merupakan grup, dan operasi biner kedua semigrup, serta kedua operasi memenuhi sifat distributif kiri dan distributif kanan. Konsep ring tergeneralisasi merupakan perluasan dari konsep ring, yakni terhadap operasi biner pertama, setiap elemennya memiliki elemen identitas yang belum tentu sama. Tujuan dari penelitian ini adalah membuktikan sifat-sifat elementer dari ring tergeneralisasi dan membuktikan sifat-sifat ring tergeneralisasi dan homomorfisma ring tergeneralisasi yang dikaitkan dengan struktur G-ring. Lebih lanjut, penelitian ini juga membuktikan sifat dari himpunan bagian yang berkaitan dengan elemen identitas pada ring tergeneralisasi, dan membuktikan syarat cukup dan syarat perlu suatu g-ideal pada ring tergeneralisasi. Hasil dari penelitian ini adalah berlakunya sifat-sifat fundamental dari ring tergeneralisasi yang analog dari sifat fundamental pada ring dan diperoleh syarat cukup suatu ring tergeneralisasi merupakan suatu G-ring. Lebih lanjut, jika ring tergeneralisasi tersebut memiliki elemen satuan, dapat dibentuk suatu grup abelian . Akibatnya jika dapat dibentuk suatu homomorfisma ring tergeneralisasi yang injektif antara ring tergeneralisasi R dengan ring tergeneralisasi K dengan elemen satuan, maka R merupakan G-ring dan  merupakan grup abelian. Kemudian dari himpunan , konsep ring faktor tergeneralisasi dan definisi dari g-ideal dapat dibentuk syarat cukup dan syarat perlu pada suatu g-ideal yang serupa dengan definisi ideal klasik.

Kata kunci: Ring Tergeneralisasi, Homomorfisma Ring Tergeneralisasi, g-Ideal Pada Ring Tergeneralisasi.

ABSTRACT 

Ring is a study of algebraic structures which is defined as a non-empty set containing two binary operations. Regarding the first binary operation, the set is a group, and the second binary operation is a semigroup, and both operations fulfill the left distributive and right distributive properties. The generalized ring concept is an extension of the ring concept, namely that for the first binary operation, each element has an identity element that is not necessarily the same. This research aims to prove the elementary properties of generalized rings and the properties of generalized rings and generalized ring homomorphism associated with the G-ring structure. Furthermore, this research also proves the properties of subsets related to identity elements in generalized rings, and the sufficient and necessary conditions of g-ideal in generalized rings. The results of this research are the fundamental properties of the generalized ring are valid which are analogous to the fundamental properties of the ring and the sufficient conditions for a generalized ring to be a G-ring are obtained. Furthermore, if the generalized ring has a unit element, an abelian group can be formed. As a result, if an injective generalized ring homomorphism can be formed between a generalized ring R and a generalized ring K with unit elements, then R is a G-ring and is an abelian group. And then from definition of , generalized factor ring and g-ideal, it can be formed the necessary and sufficient conditions of g-ideal.

Keywords: Generalized Ring, Homomorphism of Generalized Ring, g-Ideal of Generalized Ring.