ABSTRAK

Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan satu operasi biner atau lebih. Salah satu jenis struktur aljabar adalah INK-aljabar yang didefinisikan sebagai himpunan tak kosong dengan elemen khusus "0" dan suatu operasi biner ∗ yang memenuhi beberapa aksioma khusus. Tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji sifat-sifat elementer dan relasi biner ≤ pada INK-aljabar, hubungan INK-aljabar dengan struktur aljabar yang lainnya, sifat-sifat hubungan antara g-part, p-radical p-semisimple, ideal, ideal tertutup, sub-aljabar, medial dan homomorfisma INK-aljabar. Hasil dari penelitian ini adalah berlakunya sifat-sifat elementer dan relasi biner ≤ merupakan relasi terurut parsial pada INK-aljabar (X,∗). Terkait dengan hubungan antara INK-aljabar dengan struktur yang lain diperoleh setiap BCK-aljabar merupakan INK-aljabar. Kemudian, (X,∗) merupakan INK-aljabar jika dan hanya jika (X,∗) merupakan BCI-aljabar, dan setiap INK-aljabar merupakan BCH-aljabar dan Q-aljabar. Selanjutnya, berlakunya sifat-sifat serta syarat perlu dan syarat cukup dari g-part, p-radical dan p-semisimple. Terkait dengan hubungan antara g-part, p-radical, p-semisimple, ideal, ideal tertutup, sub-aljabar dan medial diperoleh setiap g-part dan INK-aljabar berorder sama merupakan p-semisimple, setiap p-radical merupakan ideal, setiap ideal tertutup merupakan sub-INK-aljabar, setiap INK-aljabar order tiga memiliki g-part order satu atau dua, g-part dari INK-aljabar berorder tiga merupakan ideal jika dan hanya jika g-part berorder satu, X merupakan medial jika dan hanya jika X merupakan p-semisimple, dan setiap g-part merupakan medial INK-aljabar. Lebih lanjut, berlakunya sifat dan hubungan homomorfisma INK-aljabar yaitu setiap homomorfisma INK-aljabar mengawetkan elemen khusus "0", jika f merupakan homomorfisma INK-aljabar maka preimage dibawah f dari suatu ideal di kodomain merupakan ideal di domainnya, dan setiap kernel merupakan ideal dari INK-aljabar.

Kata Kunci: Struktur Aljabar, INK-aljabar, Ideal, Sub-aljabar, Homomorfisma

ABSTRACT

An algebraic structure is a nonempty set equipped with one or more binary operations. One type of algebraic structure is INK-algebra which is defined as a nonempty set with a special element "0" and a binary operation ∗ that satisfies some special axioms. The purpose of this research is to study the properties of elementary and binary relation ≤ on INK-algebra, the relationship of INK-algebra with other algebraic structures, the properties and relationships of g-part, p-radical, p-semisimple, ideal, closed ideal, sub-algebra, medial and homomorphism of INK-algebra. The result of this research is the validity of the elementary properties and binary relations ≤ is a partially ordered relation on INK-algebra (X,∗). Related to the relationship between INK-algebra and other structures, it is obtained that every BCK-algebra is a INK-algebra. Then, (X,∗) is an INK-algebra if and only if (X,∗) is a BCI-algebra, and every INK-algebra is an BCH-algebra and Q-algebra. Furthermore, the properties and necessary and sufficient conditions of g-part, p-radical and p-semisimple apply. Related to the relationship between g-part, p-radical, psemisimple, ideal, closed ideal, sub-algebra and medial, it is obtained that every g-part and INK-algebra of the same order is a p-semisimple, every p-radical is an ideal, every closed ideal is a sub-INK-algebra, every INK-algebra of order three has a g-part of order one or two, the g-part of an INK-algebra of order three is an ideal if and only if the g-part is of order one, X is medial if and only if X is p-semisimple, and every g-part is a medial INK-algebra. Furthermore, the properties and relations of INK-algebra homomorphisms apply, namely every INK-algebra homomorphism preserves the special element "0", if f is an INK-algebraic homomorphism then the preimage under f of an ideal in the codomain is an ideal in the domain, and every kernel is an ideal of INK-algebra.

Keywords: Algebraic Structure, INK-algebra, Ideal, Sub-algebra, Homomorphism