Modul merupakan grup abelian yang memenuhi aksioma perkalian skalar atas ring dengan elemen satuan. Modul merupakan perluasan dari ruang vektor dimana pengali skalar diperluas menjadi ring dengan elemen satuan. Grup merupakan himpunan yang dikenakan satu operasi biner yang memenuhi aksioma asosiatif, adanya elemen identitas dan adanya elemen invers untuk setiap elemennya. Kemudian grup digeneralisasi dengan mendefinisikan setiap elemen memiliki elemen identitas yang disebut dengan grup tergeneralisasi. Kemudian Modul digeneralisasi dengan menggeneralisasi grup abeliannya menjadi grup tergeneralisasi. Modul tergeneralisasi merupakan grup tergeneralisasi yang memenuhi aksioma perkalian skalar terhadap ring dengan elemen satuan. Pembahasan dimulai dengan tinjauan ring dan modul sebagai dasar teori, kemudian diperluas ke grup tergeneralisasi yang memiliki elemen identitas untuk setiap elemennya. Konsep ini selanjutnya diterapkan pada modul tergeneralisasi, dengan struktur penjumlahan berupa grup tergeneralisasi dan struktur perkalian skalar atas ring dengan elemen satuan. Hasil penelitian menunjukkan bahwa modul tergeneralisasi memenuhi aksioma terkait elemen identitas dan elemen invers yang mirip pada modul meskipun dengan operasi penjumlahan yang lebih umum. Lebih lanjut dapat dibentuk suatu modul tergeneralisasi dari suatu modul, dan subset tertentu dari modul tergeneralisasi tersebut dapat menjadi modul. Selain itu, dibuktikan bahwa setiap modul tergeneralisasi siklik merupakan modul. Penelitian ini juga mengkaji submodul tergeneralisasi sebagai subgrup tergeneralisasi yang tertutup terhadap perkalian skalar, serta membuktikan jumlah dan irisan submodul tergeneralisasi kembali membentuk submodul tergeneralisasi. Pada homomorfisma modul tergeneralisasi, beberapa aksioma homomorfisma modul tetap terpenuhi, termasuk sifat-sifat elementer terkait invers dan identitas. Selain itu, kernel dan image suatu homomorfisma modul tergeneralisasi juga membentuk submodul tergeneralisasi.

Kata kunci: Ring, Modul, Grup Tergeneralisasi, Modul Tergeneralisasi

A module is an abelian group equipped with scalar multiplication over a ring with unity, extending the concept of a vector space by allowing scalars from a ring rather than a field. A group, defined as a set with a single associative binary operation possessing an identity element and inverses for every element, is generalized by introducing the notion of a generalized group, where each element possesses its own local identity. Correspondingly, a module is generalized by replacing its underlying abelian group with a generalized group, leading to the structure of a generalized module. that is, a generalized group that satisfies scalar multiplication axioms over a ring with unity.The discussion begins with an overview of classical rings and modules as the theoretical foundation, then proceeds to the extension of groups to generalized groups, which assign a local identity to each element. This concept is subsequently applied to generalized modules, where the additive structure is a generalized group and scalar multiplication is defined over a ring with unity.The results demonstrate that generalized modules satisfy many axioms analogous to those of classical modules, including properties related to identity and inverse elements, despite the more general nature of their addition operation. Furthermore, a generalized module can be constructed from a classical module, and certain subsets of a generalized module may themselves form modules. It is also proven that every cyclic generalized module is necessarily a classical module.This research further examines generalized submodules as generalized subgroups closed under scalar multiplication, and establishes that both the sum and the intersection of generalized submodules again constitute a generalized submodule. In the context of homomorphisms between generalized modules, several axioms of classical module homomorphisms remain valid, including elementary properties concerning inverses and identities. Additionally, the kernel and image of a generalized module homomorphism are shown to be generalized submodules.

Keywords: Ring, Module, Generalized Groups, Generalized Module